点 $(x,f(x))$ 处切线在 $y$ 轴上的截距为 $f(x)-x{f}^{\prime }(x)$。令 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，题设给出 $f-x{f}^{\prime }=\frac{F}{x}$。

在 $x>0$ 上，由原等式得 $f^{\prime }=\frac{(f-\frac{F}{x})}{x}$。右端可导，故 $f$ 二阶可导。对等式求导，并用 $F^{\prime }=f$ 及原等式消去 $F$，得到 $x{f}^{\prime \prime }+f^{\prime }=0$，即 $(x{f}^{\prime }{)}^{\prime }=0$。因此 $f^{\prime }=\frac{C_2}{x}$，从而 $f(x)=C_1+C_2\ln x$。

反代可得 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=x[C_1+C_2(\ln x-1)]$，恰等于 $x(f-x{f}^{\prime })$，故该一般式满足题设。