齐次方程的特征方程为 $r(r-2)=0$，故 $y_h=C_1+C_2{\mathrm{e}}^{2x}$。因右端为 ${\mathrm{e}}^{2x}$ 且 $2$ 是特征根，设特解 $y_p=Ax{\mathrm{e}}^{2x}$，代入得 $2A{\mathrm{e}}^{2x}={\mathrm{e}}^{2x}$，所以 $A=\frac{1}{2}$。

由 $y(0)=0$ 得 $C_1=-C_2$；由 $y^{\prime }(0)=1$ 得 $2C_2+\frac{1}{2}=1$，故 $C_2=\frac{1}{4},C_1=-\frac{1}{4}$。因此 $y=\frac{({\mathrm{e}}^{2x}-1)}{4}+\frac{x{\mathrm{e}}^{2x}}{2}$。