设 $F(x,y)=y^3+x{y}^2+x^{2}y+6$。在曲线上 $y\ne 0$，否则原方程变为 $6=0$。又

因此隐函数在曲线上可导。对原方程关于 $x$ 求导并合并含 $y^{\prime }$ 的项，得

故 $y^{\prime }=-\frac{y(y+2x)}{3y^2+2xy+x^2}$。由于 $y\ne 0$，驻点必须满足 $y=-2x$；代入原方程，得 $-8x^3+4x^3-2x^3+6=0$，即 $x^3=1$。所以唯一驻点是 $x=1$，对应 $y=-2$。
对上面的导数关系再求导，得到

在驻点处 $y^{\prime }=0$，故 $(3y^2+2xy+x^2)y^{\prime \prime }+2y=0$。代入 $(x,y)=(1,-2)$，得 $9y^{\prime \prime }-4=0$，即 $y^{\prime \prime }(1)=\frac{4}{9}>0$。因此 $x=1$ 是极小值点，极小值为 $f(1)=-2$。
对每个固定的 $x$，$F(x,y)$ 关于 $y$ 严格递增，且在 $y\to \pm \infty$ 时分别趋于 $\pm \infty$，故有唯一实根；曲线上 $F_y>0$，上述隐函数在整个实轴上可导。任何极值点都必须是驻点，因此没有其他极值，也没有极大值。