令 $g(x)=\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}$，$0<x<1$。原方程有实根等价于 $k$ 属于 $g$ 在该区间的值域。函数在 $(0,1)$ 连续可导，先求端点极限，再证明单调性。
（1）当 $x\to 1^{-}$ 时，$g(x)\to \frac{1}{\ln 2}-1$。当 $x\to 0^{+}$ 时，通分并利用 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，得到

（2）求导得 $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(1+x){\ln }^2(1+x)}$。因 $x>0$、$\ln (1+x)>0$，欲证 $g^{\prime }<0$，等价于证 $\ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$。
为证明此不等式，令 $\phi (x)=\frac{x}{\sqrt{1+x}}-\ln (1+x)$，则 $\phi (0)=0$，且

对 $x>0$，$1+\frac{x}{2}$ 与 $\sqrt{1+x}$ 都为正，而 $(1+\frac{x}{2}{)}^2-(1+x)=\frac{x^2}{4}>0$，故 ${\phi }^{\prime }(x)>0$。因此 $\phi (x)>\phi (0)=0$，所需不等式成立。平方后得 $(1+x){\ln }^2(1+x)<x^2$，所以 $g^{\prime }(x)<0$。
（3）$g$ 在 $(0,1)$ 连续且严格递减，由介值性及上述端点极限，值域恰为 $(\frac{1}{\ln 2}-1,\frac{1}{2})$。两端点均取不到，故常数范围为 $\frac{1}{\ln 2}-1<k<\frac{1}{2}$。