由于 $0<x<1$ 且 $0\le t\le 1$，有 $t\ge 0$，而 $t-x$ 在 $t=x$ 处变号。因此

分段积分得

对 $f(x)$ 求导：

在 $0<x<1$ 内，唯一驻点为 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$。当 $0<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；当 $\frac{1}{\sqrt{2}}<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$。

所以 $f$ 在 $(0,\frac{1}{\sqrt{2}})$ 上单调递减，在 $(\frac{1}{\sqrt{2}},1)$ 上单调递增，故在 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 处取得极小值

由上述单调性，定义域内没有极大值。

定义域为开区间，且

因此 $\frac{1}{3}$ 只是上确界而未取到，函数无最大值。最后，由 $f^{\prime \prime }(x)=2x>0$（$0<x<1$），曲线在整个 $(0,1)$ 上向上凹，即按通常约定为凹区间，无凸区间。