2024 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

设矩阵

A = 112 - 1 11 002 - 1 36, B = 112 0 - 1 - 3 1 a 2 2 a - 1 - 2

，且

α = 023, β = 10 - 1

。

(1) 证明方程组 $A x = α$ 的解均为 $B x = β$ 的解；
(2) 若两个方程组不同解，求 $a$ 。

答案

第 1 问

$A x = α$ 的解均满足 $B x = β$ 。

第 2 问

$a = 1$ 。

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第 1 问

先求 $A x = α$ 的通解。对增广矩阵先作 $r_{2} \leftarrow r_{2} - r_{1}$ 、 $r_{3} \leftarrow r_{3} - 2 r_{1}$ ；将第二行除以 $2$ ，再作 $r_{3} \leftarrow r_{3} - 3 r_{2}$ ，最后将第三行除以 $2$ 、第一行加第二行，得到

(A, α) ⟶ 100010001121110 .

令 $x_{4} = t$ ，全部解为 $x = (1 - t, 1 - 2 t, - t, t)^{T}$ ， $t \in R$ 。代入 $B$ 的三行，分别得到

(1 - t) - t + 2 t (1 - t) - (1 - 2 t) - a t + (a - 1) t 2 (1 - t) - 3 (1 - 2 t) - 2 t - 2 t = 1, = 0, = - 1.

故对任意 $a, t$ 都有 $B x = (1, 0, - 1)^{T} = β$ ，包含关系得证。

第 2 问

第一问说明两个解集非空且 $S_{A} \subseteq S_{B}$ 。它们有公共特解 $(1, 1, 0, 0)^{T}$ ，各自是齐次解空间的平移。 $r (A) = 3$ ，所以 $S_{A}$ 维数为 $4 - 3 = 1$ 。在已有包含关系下，二者同解当且仅当维数相同，即 $r (B) = 3$ 。
对 $B$ 作 $r_{2} \leftarrow r_{2} - r_{1}$ 、 $r_{3} \leftarrow r_{3} - 2 r_{1}$ ，再作 $r_{3} \leftarrow r_{3} - 3 r_{2}$ ，得

B ⟶ 100 0 - 1 0 1 a - 1 3 - 3 a 2 a - 3 3 - 3 a .

当 $a \neq = 1$ 时，三个主元非零， $r (B) = 3$ ，两方程组同解；当 $a = 1$ 时， $r (B) = 2$ ， $S_{B}$ 维数为 $2$ ，严格大于 $S_{A}$ ，故不同解。因此 $a = 1$ 。
此时 $(0, 1, 1, 0)^{T}$ 满足 $B x = β$ ，却不满足第一问的 $x_{3} = - x_{4}$ ，也可直接确认解集不同。