记 $u_n=\sin (\frac{1}{n})-k\ln (1-\frac{1}{n})$。当 $n\to \infty$ 时，泰勒展开给出

若 $1+k\ne 0$，则 $n{u}_n\to 1+k$，通项最终与 $1+k$ 同号，且 $|u_n|\sim \frac{|1+k|}{n}$。与调和级数比较，最终同号的尾级数发散，所以原级数收敛必须有 $k=-1$。
再验证充分性。当 $k=-1$ 时，$u_n=-\frac{1}{(2n^2)}+o(n^{-2})$，故 $|u_n|\sim \frac{1}{(2n^2)}$，绝对值级数与收敛的 $p=2$ 级数极限比较后收敛。因此原级数确实收敛，$k=-1$，选 C。
这里必须保留二阶项：在 $k=-1$ 时一阶项相消，仅用一阶等价无穷小不足以判定敛散性。