2008 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

设

f (x)

是区间

[0, + \infty)

上具有连续导数的单调增加函数，且

f (0) = 1

。对于任意的

t \in [0, + \infty)

，直线

x = 0, x = t

、曲线

y = f (x)

以及

x

轴所围成曲边梯形绕

x

轴旋转一周生成旋转体。若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求

f (x)

的表达式。

答案

按严格增加理解， $f (x) = cosh x$ ；按“单调增加”为非减函数，所有解为 $f (x) = {1, cosh (x - c), 0 \leq x \leq c, x > c, c \geq 0$ ，以及常值解 $f (x) \equiv 1$ ；若题意中的“单调增加”指严格增加，则 $f (x) = cosh x$

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按“单调增加”表示严格增加理解，题设面积体积关系给出 $f^{'2} = f^{2} - 1$ 。当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ 且 $f^{'} \geq 0$ ，分离变量并利用初值得

arcosh f (x) = x, f (x) = cosh x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} .

下文给出推导，并补充非减含义下的解族。

旋转体的侧面面积和体积分别为

S (t) V (t) = 2 π \int_{0}^{t} f (x) 1 + f^{'} (x)^{2} d x, = π \int_{0}^{t} f (x)^{2} d x .

题设 $S (t) = 2 V (t)$ 对任意 $t \geq 0$ ，所以

\int_{0}^{t} f (x) 1 + f^{'} (x)^{2} d x = \int_{0}^{t} f (x)^{2} d x .

对 $t$ 求导，且 $f (t) \geq f (0) = 1$ ，得到 $f (t) 1 + f^{'} (t)^{2} = f (t)^{2}$ ，即 $f^{'} (t)^{2} = f (t)^{2} - 1$ 。

单调非减给出 $f^{'} \geq 0$ 。当 $f > 1$ 时，分离变量可得 $arcosh f = x - c$ ，故 $f (x) = cosh (x - c)$ ；而在离开 $1$ 之前也允许 $f \equiv 1$ 。因此有限 $c \geq 0$ 时得到

f (x) = {1, cosh (x - c), 0 \leq x \leq c, x > c,

另有常值解 $f \equiv 1$ 。若“单调增加”按严格增加理解，初始平台不能存在，只剩 $f (x) = cosh x$ 。