令 $g(x)=f(x)+x-1$。由题设，$g$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $g(0)=-1$、$g(1)=1$。

由介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $g(\xi )=0$，即 $f(\xi )=1-\xi$。

令 $h(x)=f(x)-x$，则 $h(0)=h(1)=0$。若 $h\equiv 0$，则 $f^{\prime }\equiv 1$，任取两个不同的点即可。

否则取 $x_0\in (0,1)$ 使 $h(x_0)\ne 0$。若 $h(x_0)>0$，中值定理分别在 $[0,x_0]$ 和 $[x_0,1]$ 上给出两点，使 $f^{\prime }$ 分别大于 $1$ 和小于 $1$；若 $h(x_0)<0$，结论次序相反。因此存在点使 $a=f^{\prime }<1$ 及点使 $b=f^{\prime }>1$。

导函数具有达布性质。取 $\max \{a,\frac{1}{b}\}<t<1$，则 $t,\frac{1}{t}$ 都在 $a,b$ 之间，故存在不同的 $\eta ,\zeta \in (0,1)$ 使 $f^{\prime }(\eta )=t$、$f^{\prime }(\zeta )=\frac{1}{t}$，从而 $f^{\prime }(\eta )f^{\prime }(\zeta )=1$。