（1）令 $\alpha (x)=1-\frac{\ln (1+x)}{x}=\frac{[x-\ln (1+x)]}{x}$，则底数为 $1+\alpha (x)\to 1$，在零点附近为正。原函数可写为 $\exp [\frac{\ln (1+\alpha (x))}{x}]$。
（2）由 $x-\ln (1+x)=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，得 $\alpha =\frac{x}{2}+o(x)$。因此

$$\frac{\ln (1+\alpha )}{x}=\frac{\ln (1+\alpha )}{\alpha }\frac{\alpha }{x}\to 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

（3）由指数函数连续性，原极限为 $e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$。先证明对数极限存在再还原，避免预先假设待求极限存在。此推导同时适用于 $x$ 的两侧。
其中 $\frac{\alpha }{x}$ 的极限也可用洛必达法则计算：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\frac{1}{(1+x)}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2(1+x)}=\frac{1}{2}.$$