2001 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

令 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ 。侧面与底面 $z = 0$ 相交于 $r = \frac{h}{2}$ 。雪堆体积为

V = 2 π \int_{0}^{\frac{h}{2}} r (h - \frac{2 r ^{2}}{h}) d r = \frac{π h ^{3}}{4} .

曲面侧面积为

S = 2 π \int_{0}^{\frac{h}{2}} r 1 + (\frac{4 r}{h})^{2} d r = \frac{13 π h ^{2}}{12} .

由 $- \frac{d V}{d t} = 0.9 S$ ，得 $- \frac{3 π h ^{2}}{4} h^{'} = 0.9 \cdot \frac{13 π h ^{2}}{12}$ ，即 $h^{'} = - 1.3$ 。高度从 $130$ 匀速减至零所需时间为 $\frac{130}{1.3} = 100$ 小时。

答案