1993 · 数学一 · 第 14 题 · 解答题

通量中的向量场为 $F = (2 x z, y z, - z^{2})$ ，故 $div F = 2 z + z - 2 z = z$ 。给定曲面取外侧，正好可用高斯公式。

两曲面交于 $r = 1, z = 1$ 。所围区域在柱坐标下为 $0 \leq r \leq 1$ 、 $r \leq z \leq 2 - r^{2}$ 、 $0 \leq θ \leq 2 π$ 。

于是通量为

∭_{Ω} z d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{r}^{2 - r^{2}} z r d z d r d θ = 2 π \int_{0}^{1} (r - r^{3}) d r = \frac{π}{2} .

答案