2011 · 数学三 · 第 3 题 · 选择题

设

{u_{n}}

是数列，则下列命题正确的是（　　）。

A
若 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 收敛
正确答案
B
若 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛
C
若 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} - u_{2 n})$ 收敛
D
若 $n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} - u_{2 n})$ 收敛，则 $n = 1 \sum \infty u_{n}$ 收敛

答案

查看解析展开

A 正确。记原级数的部分和 $S_{N} = k = 1 \sum N u_{k}$ ，两项一组后的部分和为

T_{N} = k = 1 \sum N (u_{2 k - 1} + u_{2 k}) = S_{2 N} .

若原级数收敛，则 $S_{N}$ 有有限极限，它的偶数项子列 $S_{2 N}$ 收敛于同一极限，故加括号后的级数也收敛。
B 错误。取 $u_{n} = (- 1)^{n}$ ，每组 $u_{2 n - 1} + u_{2 n} = 0$ ，分组级数收敛，但原级数通项不趋于零，因而发散。
C 错误。取 $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ ，原级数由莱布尼茨判别法收敛，而

u_{2 n - 1} - u_{2 n} = \frac{1}{2 n - 1} + \frac{1}{2 n} > \frac{1}{n} .

由与调和级数比较，差项组成的级数发散。括号内改为减号，并不是原级数的加括号操作。
D 错误。取 $u_{n} = 1$ ，差项恒为零，差项级数收敛，但原级数 $\sum 1$ 发散。因此选 A。