1994 · 数学三 · 第 2 题 · 填空题

设函数

y = y (x)

由参数方程

{x = t - ln (1 + t) y = t^{3} + t^{2}

所确定，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} =

。

答案

$\frac{( 1 + t ) ( 6 t + 5 )}{t}$

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先对参数求导：

\frac{d x}{d t} = 1 - \frac{1}{1 + t} = \frac{t}{1 + t}, \frac{d y}{d t} = 3 t^{2} + 2 t = t (3 t + 2) .

因此，在 $t \neq = 0$ 时，

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = (1 + t) (3 t + 2) = 3 t^{2} + 5 t + 2.

再对 $t$ 求导并除以 $\frac{d x}{d t}$ ：

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{6 t + 5}{\frac{t}{( 1 + t )}} = \frac{( 1 + t ) ( 6 t + 5 )}{t} .