（1）圆弧与星形线第一象限部分的端点均为$(1,0)$、$(0,1)$。在星形线上$x^2+y^2={\cos }^{6}t+{\sin }^{6}t=1-3{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t<1$，其中$0<t<\frac{\pi }{2}$，故星形线位于圆弧内侧。两曲线均可视为$0\le x\le 1$上的非负函数，旋转截面为圆环。
（2）体积为外部半球体积减去星形线下方的旋转体体积。外部有

内部用参数$x={\cos }^{3}t$、$y={\sin }^{3}t$，有$dx=-3{\cos }^{2}t\sin tdt$；$x$由$0$至$1$对应$t$由$\frac{\pi }{2}$至$0$，从而

（3）再令$u=\cos t$，$du=-\sin tdt$，上下限由$0,\frac{\pi }{2}$变为$1,0$，利用${\sin }^{6}t=(1-u^2{)}^3$，得

所以$V=\frac{2\pi }{3}-\frac{16\pi }{105}=\frac{18\pi }{35}$。

旋转体边界包括外侧圆弧生成的半球面和内侧星形线生成的旋转面，表面积应将这两片面积相加。两曲线在$x=0$与$x=1$处端点重合，截面的内外半径也相同，没有额外的平面圆环。
（1）外侧是半径为$1$的半球面，$S_{\text{外}}=\frac{1}{2}\cdot 4\pi =2\pi$。
（2）内侧按参数旋转面公式$S_{\text{内}}=2\pi \int yds$计算。由$x={\cos }^{3}t$、$y={\sin }^{3}t$，

在$0\le t\le \frac{\pi }{2}$上$\sin t\cos t\ge 0$，故$ds=3\sin t\cos tdt$。于是

两片相加得$S=2\pi +\frac{6\pi }{5}=\frac{16\pi }{5}$。