由 $f(x)>0$，可对题设极限取对数，得到 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln f(x+hx)-\ln f(x)}{h}=\frac{1}{x}$。

令 $u=\ln f(x)$，则上式左端为 $x{u}^{\prime }(x)$，故 $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{1}{x^2}$。

积分得 $\ln f(x)=-\frac{1}{x}+C$，即 $f(x)=C{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}$。由 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$ 得 $C=1$。