1991 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内满足

f (x) = f (x - π) + sin x

，且

f (x) = x

（

x \in [0, π)

），计算

\int_{π}^{3 π} f (x) d x

。

答案

$π^{2} - 2$

查看解析展开

当 $x \in [π, 2 π)$ 时， $x - π \in [0, π)$ ，故

f (x) = x - π + sin x .

当 $x \in [2 π, 3 π)$ 时，先对 $f (x - π)$ 使用上一段公式，得到

f (x) = x - 2 π + sin (x - π) + sin x = x - 2 π .

因此

\int_{π}^{3 π} f (x) d x = \int_{π}^{2 π} (x - π + sin x) d x + \int_{2 π}^{3 π} (x - 2 π) d x = (\frac{π ^{2}}{2} - 2) + \frac{π ^{2}}{2} = π^{2} - 2.