2013 · 数学二 · 第 6 题 · 选择题

设

D_{k}

是圆域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}

在第

k

象限的部分，记

I_{k} = \iint_{D_{k}} (y - x) d x d y (k = 1, 2, 3, 4)

，则（　　）。

A
$I_{1} > 0$
B
$I_{2} > 0$
正确答案
C
$I_{3} > 0$
D
$I_{4} > 0$

答案

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第一、第三象限的四分之一圆域 $D_{1}, D_{3}$ 均在交换 $x, y$ 后保持不变，而 $y - x$ 变为其相反数。因此 $I_{1} = - I_{1}$ 、 $I_{3} = - I_{3}$ ，即 $I_{1} = I_{3} = 0$ 。
在第二象限 $D_{2}$ 内有 $x \leq 0 \leq y$ ，故 $y - x \geq 0$ ，且在有正面积的内部严格为正，因而 $I_{2} > 0$ 。在第四象限 $D_{4}$ 内有 $y \leq 0 \leq x$ ，同理得 $I_{4} < 0$ 。四个选项中只有 B 成立。

极坐标计算。令 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ ，各象限内 $0 \leq r \leq 1$ ，故

I_{k} = \frac{1}{3} \int_{(k - 1) \frac{π}{2}}^{\frac{k π}{2}} (sin θ - cos θ) d θ = \frac{1}{3} [- cos θ - sin θ]_{(k - 1) \frac{π}{2}}^{\frac{k π}{2}} .

依次代入四个角区间，得 $I_{1} = 0$ 、 $I_{2} = \frac{2}{3}$ 、 $I_{3} = 0$ 、 $I_{4} = - \frac{2}{3}$ 。因此只有 $I_{2} > 0$ ，选 B。