2003 · 数学一 · 第 5 题 · 填空题

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {6 x, 0, 0 \leq x \leq y \leq 1, 其他 .

，则

P {X + Y \leq 1} =

。

答案

$\frac{1}{4}$

由 $0 \leq x \leq y \leq 1$ 且 $x + y \leq 1$ ，可取 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ ， $x \leq y \leq 1 - x$ 。

因此

P (X + Y \leq 1) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{x}^{1 - x} 6 x d y d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 6 x (1 - 2 x) d x = \frac{1}{4} .