对任意 $x\ne 0$，在端点 $0,x$ 之间应用拉格朗日中值定理，存在位于二者之间的 $\xi$，使 $f(x)-f(0)=x{f}^{\prime }(\xi )$。令 $\theta (x)=\frac{\xi }{x}$，则 $0<\theta (x)<1$。

由于 $f^{\prime \prime }$ 连续且在 $(-1,1)$ 内不为零，它在该区间恒同号，故 $f^{\prime }$ 严格单调。于是满足 $f^{\prime }(\xi )=\frac{[f(x)-f(0)]}{x}$ 的 $\xi$ 至多一个，从而 $\theta (x)$ 唯一。

沿用第一问所得等式及中值参数的范围。由二阶 Taylor 展开，$\frac{[f(x)-f(0)]}{x}=f^{\prime }(0)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(0)x+o(x)$。另一方面，$f^{\prime }(\theta x)=f^{\prime }(0)+f^{\prime \prime }(0)\theta x+o(x)$，其中 $0<\theta <1$ 保证余项仍为 $o(x)$。

比较并除以 $x$，得到 $f^{\prime \prime }(0)\theta (x)+o(1)=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(0)+o(1)$。因 $f^{\prime \prime }(0)\ne 0$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\theta (x)=\frac{1}{2}$。