2004 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

设

n = 1 \sum \infty a_{n}

为正项级数，下列结论中正确的是（　　）。

A
若 $n \to \infty lim n a_{n} = 0$ ，则级数 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 收敛
B
若存在非零常数 $λ$ ，使得 $n \to \infty lim n a_{n} = λ$ ，则级数 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 发散
正确答案
C
若级数 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 收敛，则 $n \to \infty lim n^{2} a_{n} = 0$
D
若级数 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 发散，则存在非零常数 $λ$ ，使得 $n \to \infty lim n a_{n} = λ$

答案

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若 $n \to \infty lim n a_{n} = λ \neq = 0$ ，由于 $a_{n} > 0$ ，必有 $λ > 0$ 。于是 $a_{n} \sim \frac{λ}{n}$ ，由极限比较判别法，该级数与调和级数同为发散，故 B 正确。

A 不成立：取 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = \frac{1}{( n ln n )}$ （ $n \geq 2$ ），则 $n a_{n} \to 0$ ，但由积分判别法，级数发散。C 不成立：取 $a_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ ，级数收敛，而 $n^{2} a_{n} = 1$ 。

D 不成立：取 $a_{n} = \frac{1}{n}$ ，级数发散，但 $n a_{n} = n \to + \infty$ ，不存在题述非零常数极限。因此只有 B 正确。