2004 · 数学二 · 第 22 题 · 解答题

设有齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ (1 + a) x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, 2 x_{1} + (2 + a) x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 0, 3 x_{1} + 3 x_{2} + (3 + a) x_{3} + 3 x_{4} = 0, 4 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} + (4 + a) x_{4} = 0.

试问

a

取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

答案

有非零解当且仅当 $a = 0$ 或 $a = - 10$ 。当 $a = 0$ 时，通解为 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (t_{1}, t_{2}, t_{3}, - t_{1} - t_{2} - t_{3})$ ，其中 $t_{1}, t_{2}, t_{3} \in R$ 为任意参数；当 $a = - 10$ 时，通解为 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = t (1, 2, 3, 4)$ ，其中 $t \in R$ 为任意参数。

解析

记 $s = x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ ，原方程组等价于

a x_{i} + i s = 0, i = 1, 2, 3, 4.

将四式相加，得 $(a + 10) s = 0$ 。

当 $a = 0$ 时，各式均等价于 $s = 0$ 。取任意实数 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ ，通解为

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (t_{1}, t_{2}, t_{3}, - t_{1} - t_{2} - t_{3}) .

选取不全为零的参数即可得到非零解。

当 $a \neq = 0$ 且 $a \neq = - 10$ 时，由 $(a + 10) s = 0$ 得 $s = 0$ ，再由 $a x_{i} + i s = 0$ 得所有 $x_{i} = 0$ ，故只有零解。

当 $a = - 10$ 时，有 $x_{i} = \frac{i s}{10}$ 。令 $t = \frac{s}{10}$ ，通解为

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = t (1, 2, 3, 4), t \in R .

代回可见任意 $t$ 都满足原方程组，且 $t \neq = 0$ 时为非零解。因此有非零解的参数恰为 $a = 0$ 或 $a = - 10$ 。