（1）记$A(x)=1+{\int }_0^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t$。先通分，将两个发散分式的差化为一个分式：

$$\frac{A(x)}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}=\frac{A(x)\sin x-(e^x-1)}{(e^x-1)\sin x}.$$

分母满足$(e^x-1)\sin x\sim x^2$，因此需准确计算分子二阶项；以下保留到三阶以展示抵消过程。
（2）由$e^{t^2}=1+t^2+O(t^4)$，积分得${\int }_0^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$，故$A(x)=1+x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$。再利用$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$，有

$$\begin{array}{rl}A(x)\sin x& =\left(1+x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)\right)\left(x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\right)\\ & =x+x^2-\frac{x^3}{6}+O(x^4).\end{array}$$

（3）又$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)$，相减得到

$$A(x)\sin x-(e^x-1)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+O(x^4).$$

因此所求极限为

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+O(x^4)}{x^2+o(x^2)}=\frac{1}{2}.$$

不能在通分前分别将$e^x-1$与$\sin x$换成$x$，因为两个发散量相减时，被忽略的误差可能改变有限极限。