（1）证明 C。若 $f$ 在 $0$ 处可导，则连续，结合已知极限得 $f(0)=0$。对 $x\ne 0$，

第一个因子趋于有限数 $f^{\prime }(0)$，第二个因子的绝对值为 $\sqrt{|x|}\to 0$，故乘积趋于零，C 成立。
（2）A 不成立。取 $f(x)=|x{|}^{\frac{3}{4}}$，满足题设，且 $\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=|x{|}^{\frac{1}{4}}\to 0$。但差商 $\frac{|h{|}^{\frac{3}{4}}}{h}$ 右侧趋于正无穷、左侧趋于负无穷，不存在有限导数。
（3）B 不成立。取 $f(x)=0$（$x\ne 0$）、$f(0)=1$。其去心极限为零，且 $\frac{f(x)}{x^2}=0$（$x\ne 0$），但在 $0$ 不连续，当然不可导。题设“有定义且极限为零”不能推出 $f(0)=0$。若另有 $f(0)=0$，才可由差商 $\frac{f(x)}{x}=[\frac{f(x)}{x^2}]x\to 0$ 推出可导。
（4）D 不成立。取 $f(x)=x$，在 $0$ 可导且满足题设，但 $\frac{f(x)}{x^2}=\frac{1}{x}$ 的左右极限异号发散，并非趋于零。故选 C。
一点可导只给 $f(x)=f^{\prime }(0)x+o(x)$，不保证二阶小量；也不能未经邻域可导假设就使用洛必达法则。