2019 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} + x y = e^{- \frac{x ^{2}}{2}}

满足条件

y (0) = 0

的特解。

(1) 求 $y (x)$ ；
(2) 求曲线 $y = y (x)$ 的凸凹区间及拐点。

答案

第 1 问

$y (x) = x e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$

第 2 问

凹（ $y^{''} > 0$ ）区间： $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ ；凸（ $y^{''} < 0$ ）区间： $(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$ ；拐点： $(- 3, - 3 e^{- \frac{3}{2}})$ 、 $(0, 0)$ 、 $(3, 3 e^{- \frac{3}{2}})$

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第 1 问

方程为一阶线性方程，取积分因子 $μ (x) = e^{\int x d x} = e^{\frac{x ^{2}}{2}}$ 。两边同乘积分因子，得到

(y e^{\frac{x ^{2}}{2}})^{'} = e^{\frac{x ^{2}}{2}} (y^{'} + x y) = 1.

积分得 $y e^{\frac{x ^{2}}{2}} = x + C$ ，即 $y = (x + C) e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ 。代入 $y (0) = 0$ 得 $C = 0$ ，所以 $y (x) = x e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ ， $x \in R$ 。其导数为 $y^{'} = (1 - x^{2}) e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ ，代回可见 $y^{'} + x y = e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ ，且初值满足。

第 2 问

（1）计算二阶导数。由上一问 $y = x e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ ，得

y^{'} y^{''} = (1 - x^{2}) e^{- \frac{x ^{2}}{2}}, = [- 2 x - x (1 - x^{2})] e^{- \frac{x ^{2}}{2}} = x (x^{2} - 3) e^{- \frac{x ^{2}}{2}} .

指数因子恒正，故二阶导数符号由 $x (x - 3) (x + 3)$ 决定。三个零点为 $- 3, 0, 3$ ；在依次排列的四个区间上， $y^{''}$ 的符号分别为负、正、负、正。

（2）写出凹凸区间。按 $y^{''} > 0$ 为凹、 $y^{''} < 0$ 为凸的约定，凹区间为 $(- 3, 0)$ 和 $(3, + \infty)$ ，凸区间为 $(- \infty, - 3)$ 和 $(0, 3)$ 。

（3）求拐点。上述三个零点两侧二阶导数均变号，故均为拐点横坐标。代入函数得拐点为 $(- 3, - 3 e^{- \frac{3}{2}})$ 、 $(0, 0)$ 、 $(3, 3 e^{- \frac{3}{2}})$ 。