2019 · 数学一 · 第 5 题 · 选择题

设

A

是三阶实对称矩阵，

E

是三阶单位矩阵，若

A^{2} + A = 2 E

，且

∣ A ∣ = 4

，则二次型

x^{T} A x

的规范形是（　　）。

A
$y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$
B
$y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$
C
$y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$
正确答案
D
$- y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$

答案

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设 $A ξ = λ ξ$ ，其中 $ξ \neq = 0$ 。将 $A^{2} + A = 2 E$ 作用于 $ξ$ ，得 $(λ^{2} + λ - 2) ξ = 0$ ，故 $(λ - 1) (λ + 2) = 0$ 。因此特征值只能取 $1$ 或 $- 2$ 。
设三个特征值中 $- 2$ 出现 $k$ 次，则 $∣ A ∣ = 1^{3 - k} (- 2)^{k} = 4$ 。在 $k = 0, 1, 2, 3$ 中只有 $k = 2$ 满足，所以全部特征值为 $1, - 2, - 2$ 。
$A$ 实对称，可以正交对角化，二次型先化为 $z_{1}^{2} - 2 z_{2}^{2} - 2 z_{3}^{2}$ 。再令 $y_{1} = z_{1}, y_{2} = 2 z_{2}, y_{3} = 2 z_{3}$ ，得到规范形 $y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$ ，故选 C。此时正、负惯性指数分别为 $1, 2$ 。