1990 · 数学三 · 第 10 题 · 选择题

设函数

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{f ( x )}{x}, f (0), x \neq = 0 x = 0

，其中

f (x)

在

x = 0

处可导，

f^{'} (0) \neq = 0

，

f (0) = 0

，则

x = 0

是

F (x)

的（　　）。

答案

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因 $f (0) = 0$ 且 $f$ 在 $0$ 处可导，

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = f^{'} (0) .

左右极限均为有限且相同的 $f^{'} (0)$ ，但 $F (0) = f (0) = 0$ ，而题设给出 $f^{'} (0) \neq = 0$ 。故 $F$ 在 $0$ 处为可去间断点，属于第一类间断点，选 B。