（1）裂项求和。由 $\frac{1}{[k(k+1)]}=\frac{1}{k}-\frac{1}{(k+1)}$，相邻项抵消，得到

$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ & =1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.\end{array}$$

（2）使用重要极限。底数趋于 $1$，指数趋于无穷，不能分别取极限。取倒数写成

$$S_n^n=\frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^n}⟶\frac{1}{e}=e^{-1},$$

其中使用 $(1+\frac{1}{n}{)}^n\to e\ne 0$ 及商的极限法则。

裂项得 $S_n=1-\frac{1}{(n+1)}$。取对数，由 $\ln (1+u)\sim u$ 得

$$\ln (S_n^n)=n\ln \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\sim -\frac{n}{n+1}⟶-1.$$

由指数函数连续性，所求极限为 $e^{-1}$。等价地，也可用幂指极限公式，因 $n(S_n-1)=-\frac{n}{(n+1)}\to -1$，同样得到 $e^{-1}$。