记三个线性形为 ${\ell }_1=x_1-x_2+x_3,{\ell }_2=x_2+x_3,{\ell }_3=x_1+a{x}_3$，其系数矩阵为

由于实数的平方非负，$f={\ell }_1^2+{\ell }_2^2+{\ell }_3^2=0$ 当且仅当三项同时为零，即 $Mx=0$。
当 $a\ne 2$ 时，$M$ 可逆，只有零解。当 $a=2$ 时，第三个方程是前两个之和，前两式线性无关，故秩为 $2$。由 $x_2=-x_3$ 及 $x_1-x_2+x_3=0$，得 $x_1=-2x_3$。令 $x_3=k$，全部解为 $x=k(-2,-1,1{)}^T$，$k\in \mathbb{R}$。

由 $f=\Vert Mx{\Vert }^2=x^T{M}^{T}Mx$，二次型矩阵为 $M^{T}M$，且 $f\ge 0$，故负惯性指数为 $0$。又 $M^{T}Mx=0$ 推出 $\Vert Mx{\Vert }^2=x^T{M}^{T}Mx=0$，从而 $Mx=0$；反向显然成立。因此两方程同解，$r(M^{T}M)=r(M)$。
当 $a\ne 2$ 时，$r(M)=3$，正惯性指数为 $3$，规范形为 $z_1^2+z_2^2+z_3^2$；也可直接令 $z=Mx$，此时变换可逆。
当 $a=2$ 时，$r(M)=2$，正惯性指数为 $2$，规范形为 $z_1^2+z_2^2$。具体地，此时 ${\ell }_3={\ell }_1+{\ell }_2$，所以

令 $z_1=\sqrt{2}({\ell }_1+\frac{{\ell }_2}{2}),z_2=\sqrt{\frac{3}{2}}{\ell }_2,z_3=x_3$，该变换行列式为 $\sqrt{3}\ne 0$，确为可逆变换，并给出上述规范形。