（1）分离变量求隐式解。原式整理为 $(1+y^2)y^{\prime }=1-x^2$，于是 $(1+y^2)\mathrm{d}y=(1-x^2)\mathrm{d}x$。积分得 $y+\frac{y^3}{3}=x-\frac{x^3}{3}+C$，代入 $y(2)=0$ 得 $C=\frac{2}{3}$，故

函数 $F(y)=y+\frac{y^3}{3}$ 的导数 $1+y^2>0$，且值域为全体实数，因此此关系在每个实数 $x$ 处唯一确定可导函数 $y(x)$。

（2）根据导数符号判断极值。由 $y^{\prime }=\frac{(1-x^2)}{(1+y^2)}$，分母恒正，故 $y^{\prime }$ 与 $1-x^2$ 同号。在 $(-\infty ,-1)$ 上为负，在 $(-1,1)$ 上为正，在 $(1,+\infty )$ 上为负。因此 $x=-1$ 为极小值点，$x=1$ 为极大值点。

（3）计算极值。代入 $x=1$，得 $y+\frac{y^3}{3}=\frac{4}{3}$，即

二次因式判别式为 $-15<0$，故唯一实根为 $y=1$，极大值为 $y(1)=1$。代入 $x=-1$，得 $y+\frac{y^3}{3}=0$，因 $1+\frac{y^2}{3}>0$，唯一实根为 $y=0$，极小值为 $y(-1)=0$。