2018 · 数学一 · 第 21 题 · 解答题

已知

a

是常数，且矩阵

A = 112237 a 0 - a

可经初等列变换化为矩阵

B = 10 - 1 a 11 211

。

(1) 求 $a$ ；
(2) 求满足 $A P = B$ 的可逆矩阵 $P$ 。

答案

第 1 问

$a = 2$ 。

第 2 问

$P = 3 - 6 k_{1} 2 k_{1} - 1 k_{1} 4 - 6 k_{2} 2 k_{2} - 1 k_{2} 4 - 6 k_{3} 2 k_{3} - 1 k_{3}$ ，其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3} \in R$ 且 $k_{2} \neq = k_{3}$ 。

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第 1 问

初等列变换相当于右乘可逆矩阵，所以必须有 $r (A) = r (B)$ 。对 $A$ 先作 $r_{2} \leftarrow r_{2} - r_{1}$ 、 $r_{3} \leftarrow r_{3} - 2 r_{1}$ ，再作 $r_{3} \leftarrow r_{3} - 3 r_{2}$ ，得

A ⟶ 100210 a - a 0 .

因此对任意 $a$ ，均有 $r (A) = 2$ 。而按第一行展开得 $∣ B ∣ = 2 - a$ ，要使 $r (B) = 2$ ，必须 $a = 2$ 。此时 $B$ 的第一、二行无关，第三行加第一行为第二行的三倍，故 $r (B) = 2$ 。下一问构造出可逆 $P$ ，进一步证明 $a = 2$ 确实可行。

第 2 问

代入 $a = 2$ ，对 $(A, B)$ 作上一问的行变换，并再作 $r_{1} \leftarrow r_{1} - 2 r_{2}$ ，得到

(A, B) ⟶ 100010 6 - 2 0 3 - 1 0 4 - 1 0 4 - 1 0 .

三个列方程组均相容。各列分别以第三分量 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为自由未知量，得到所有满足 $A P = B$ 的矩阵

P = 3 - 6 k_{1} 2 k_{1} - 1 k_{1} 4 - 6 k_{2} 2 k_{2} - 1 k_{2} 4 - 6 k_{3} 2 k_{3} - 1 k_{3} .

还需筛选可逆者。记 $u_{1} = (3, - 1, 0)^{T}, u_{2} = (4, - 1, 0)^{T}, ξ = (- 6, 2, 1)^{T}$ ，则三列分别为 $u_{1} + k_{1} ξ, u_{2} + k_{2} ξ, u_{2} + k_{3} ξ$ 。第三列减第二列，再利用行列式多线性，得

∣ P ∣ = (k_{3} - k_{2}) ∣ u_{1} + k_{1} ξ, u_{2} + k_{2} ξ, ξ ∣ = (k_{3} - k_{2}) ∣ u_{1}, u_{2}, ξ ∣ = (k_{3} - k_{2}) 3 - 1 4 - 1 = k_{3} - k_{2} .

所以所求可逆矩阵为上式中全部满足 $k_{2} \neq = k_{3}$ 的矩阵， $k_{1}$ 任意。例如取 $k_{1} = k_{2} = 0, k_{3} = 1$ ，得 $P = 3 - 1 0 4 - 1 0 - 2 11$ ，其行列式为 $1$ ，且 $A P = B$ ，证明参数 $a = 2$ 确实可行。