把 $C$ 的前 $n$ 列与后 $m$ 列整块交换，可得到分块对角矩阵 $\mathrm{diag}(A,B)$。该列置换包含 $mn$ 次相邻列交换，符号为 $(-1{)}^{mn}$。

因此 $(-1{)}^{mn}|C|=|A||B|=ab$，从而 $|C|=(-1{)}^{mn}ab$。