由 $f(0)=0$ 且 $f^{\prime }(x)\ge 0$，知 $f$ 在 $[0,1]$ 上非减且 $f(x)\ge 0$。对第一项分部积分，

所以左端减去右端为

在 $x\in [a,1]$ 上 $f(x)-f(a)\ge 0$，且 $g^{\prime }(x)\ge 0$，故该积分非负，所需不等式成立。