1994 · 数学三 · 第 9 题 · 选择题

设有向量组

α_{1} = (1, - 1, 2, 4)

，

α_{2} = (0, 3, 1, 2)

，

α_{3} = (3, 0, 7, 14)

，

α_{4} = (1, - 2, 2, 0)

，

α_{5} = (2, 1, 5, 10)

，则该向量组的极大线性无关组是（　　）。

答案

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直接计算得

α_{3} = 3 α_{1} + α_{2}, α_{5} = 2 α_{1} + α_{2} .

因而五个向量都可由 $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 线性表示。

设 $c_{1} α_{1} + c_{2} α_{2} + c_{4} α_{4} = 0$ 。比较前三个坐标，有

c_{1} + c_{4} - c_{1} + 3 c_{2} - 2 c_{4} 2 c_{1} + c_{2} + 2 c_{4} = 0, = 0, = 0.

由第一式代入第三式得 $c_{2} = 0$ ，再代入第二式得 $c_{1} = 0$ ，从而 $c_{4} = 0$ 。

所以 $α_{1}, α_{2}, α_{4}$ 线性无关，并能表示向量组中其余向量，是一个极大线性无关组，选 B。