令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$。边界方程变为 $r^4=r^2\cos 2\theta$。原点单独满足方程，其余点约去 $r^2$，得 $r=\sqrt{\cos 2\theta }$。
由第一象限条件及 $\cos 2\theta \ge 0$，角度范围为 $0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$。曲线从 $(1,0)$ 回到原点，与 $x$ 轴围成区域 $0\le r\le \sqrt{\cos 2\theta }$，所以

令 $u=\cos 2\theta$，$\mathrm{d}u=-2\sin 2\theta \mathrm{d}\theta$，上下限从 $0,\frac{\pi }{4}$ 变为 $1,0$，得 $I=\frac{1}{16}{\int }_0^1{u}^2\mathrm{d}u=\frac{1}{48}$。