区域面积为 ${\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=2$，故区域内联合密度为 $\frac{1}{2}$。

当 $1\le x\le {\mathrm{e}}^2$ 时，$0\le y\le \frac{1}{x}$，所以 $f_X(x)={\int }_0^{\frac{1}{x}}\frac{1}{2}\mathrm{d}y=\frac{1}{2x}$。代入 $x=2$，得 $f_X(2)=\frac{1}{4}$。