1987 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

设切点为 $P (t, 1 - t^{2})$ ，其中 $0 < t < 1$ 。切线为

y - (1 - t^{2}) = - 2 t (x - t),

即

y = - 2 t x + 1 + t^{2} .

它在两坐标轴上的截距分别为 $1 + t^{2}$ 与 $\frac{( 1 + t ^{2} )}{( 2 t )}$ 。

切线、曲线及两坐标轴围成的总面积等于切线截距三角形面积减去抛物线与两坐标轴围成的面积：

S (t) = \frac{( 1 + t ^{2} ) ^{2}}{4 t} - \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x = \frac{( 1 + t ^{2} ) ^{2}}{4 t} - \frac{2}{3} .

求导得

S^{'} (t) = \frac{1}{4} (3 t^{2} + 2 - \frac{1}{t ^{2}}) .

令 $S^{'} (t) = 0$ ，得 $3 t^{4} + 2 t^{2} - 1 = 0$ ，在 $(0, 1)$ 内唯一解为 $t^{2} = \frac{1}{3}$ 。且 $S^{'}$ 在该点左负右正，所以最小值点为

P = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) .

答案