把方程整理为 $(z+y{)}^2=x^2-6xy+11y^2+18=(x-3y{)}^2+2y^2+18$，因此有两个处处光滑的分支 $z_{+}=-y+\sqrt{q}$ 与 $z_{-}=-y-\sqrt{q}$，其中 $q=(x-3y{)}^2+2y^2+18$。

两支定义域均为整个 ${\mathbb{R}}^2$，且 $q\ge 18>0$，任何局部极值点都必须是驻点。以 $s=\pm 1$ 统一表示 $z_s=-y+s\sqrt{q}$，有

两者为零时，$x=3y$ 且 $2sy=\sqrt{2y^2+18}>0$。平方得 $y^2=9$，再由符号条件得 $y=3s,x=9s,z=3s$。因此上支仅有驻点 $(9,3)$，下支仅有驻点 $(-9,-3)$。

对上支，若 $y\ge -3$，则 $q-(y+3{)}^2=(x-3y{)}^2+(y-3{)}^2\ge 0$，所以 $z_{+}\ge 3$；若 $y<-3$，不等式 $\sqrt{q}\ge y+3$ 自动成立。等号只在 $x=9,y=3$ 时成立，故上支在 $(9,3,3)$ 取得最小值 $3$。

对下支，若 $y\le 3$，则 $q-(3-y{)}^2=(x-3y{)}^2+(y+3{)}^2\ge 0$，所以 $z_{-}\le -3$；若 $y>3$，不等式自动成立。等号只在 $x=-9,y=-3$ 时成立，故下支在 $(-9,-3,-3)$ 取得最大值 $-3$。题面未指定分支，故两支结果均应列出。