（1）求出基点值并确认可导。原方程在 $x=0$ 时给出 $y=1$，故 $f(0)=1$。令 $F(x,y)=y-x-{\mathrm{e}}^{x(1-y)}$，则 $F(0,1)=0$，且 $F_y=1+x{\mathrm{e}}^{x(1-y)}$，所以 $F_y(0,1)=1\ne 0$。$F$ 有连续偏导，由隐函数定理，在 $(0,1)$ 附近确定唯一连续可微分支。
（2）对原方程关于 $x$ 求导。指数的导数为 $[x(1-y){]}^{\prime }=1-y-x{y}^{\prime }$，因此

代入 $x=0,y=1$，得 $y^{\prime }(0)-1=0$，故 $f^{\prime }(0)=1$。
（3）将数列极限写成差商。因 $\frac{1}{n}\to 0$，由导数定义及归结原则，

关键是先确认被减的常数就是 $f(0)$，再把数列极限归结为导数，不能直接对离散变量 $n$ 使用洛必达法则。

在 $(0,1)$ 处，$F(x,y)=y-x-{\mathrm{e}}^{x(1-y)}$ 满足 $F=0$、$F_y=1\ne 0$，且偏导连续，故 $f$ 在 $0$ 附近可微，$f(0)=1$。设 $f(x)=1+ax+o(x)$，则原方程左端为 $1+(a-1)x+o(x)$，而指数 $x(1-f(x))=-a{x}^2+o(x^2)=o(x)$，右端为 $1+o(x)$。
比较一次项得 $a=1$，于是 $f(\frac{1}{n})-1=\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})$，所求极限为 $1$。