（1）判断类型并取对数。当 $x\to +\infty$ 时，$\frac{\ln x}{x}\to 0$，所以 $x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{\ln x}{x}}\to 1$。对 $x>1$，底数 $x^{\frac{1}{x}}-1>0$，并趋于 $0$；指数 $\frac{1}{\ln x}\to 0$，属于零的零次幂型未定式。令 $y=(x^{\frac{1}{x}}-1{)}^{\frac{1}{\ln x}}$，则 $\ln y=\frac{\ln (x^{\frac{1}{x}}-1)}{\ln x}$。
（2）严格处理对数内部的等价替换。记 $t=\frac{\ln x}{x}\to 0^{+}$，由 $e^t-1\sim t$，存在 $\alpha (x)\to 0$ 使得

$$x^{\frac{1}{x}}-1=t[1+\alpha (x)].$$

其中 $1+\alpha (x)>0$，取对数得到

$$\begin{array}{rl}\ln (x^{\frac{1}{x}}-1)& =\ln t+\ln [1+\alpha (x)]\\ & =\ln \ln x-\ln x+\ln [1+\alpha (x)].\end{array}$$

（3）求对数的极限。两边除以 $\ln x$，有

$$\ln y=\frac{\ln \ln x}{\ln x}-1+\frac{\ln [1+\alpha (x)]}{\ln x}.$$

令 $s=\ln x\to +\infty$，则第一项为 $\frac{\ln s}{s}\to 0$；最后一项的分子趋于零、分母趋于正无穷，也趋于零。因此 $\ln y\to -1$，由指数函数的连续性，所求极限为 $e^{-1}$。