（1）列相切条件。设切点横坐标为 $x_0$。对数定义域要求 $x_0>0$，相切同时要求公共点与斜率相同，即

（2）解方程。第二式给出 $a=2x_0^2$，代入第一式得 $x_0^2=2x_0^2\ln x_0$。因为 $x_0>0$，可除以非零的 $x_0^2$，得到 $\ln x_0=\frac{1}{2}$，所以 $x_0=\sqrt{e}$，$a=2e$。
（3）确认相切。取该参数，两个函数在 $x_0=\sqrt{e}$ 处的值均为 $e$，导数均为 $2\sqrt{e}$，确有公共切线。方程唯一确定参数，选 C。

令差函数 $F(x)=x^2-a\ln x$（$x>0$）。相切等价于存在 $x_0>0$ 使 $F(x_0)=F^{\prime }(x_0)=0$。若 $a<0$，则 $F^{\prime }(x)=2x+\frac{|a|}{x}>0$，无驻点，不能相切。又题设 $a\ne 0$，故只需考虑 $a>0$。
这时 $F^{\prime }(x)=\frac{(2x^2-a)}{x}$，唯一驻点为 $x_0=\sqrt{\frac{a}{2}}$，导数在此由负变正。要求该点函数值为零，得到

由 $a>0$，得 $\ln (\frac{a}{2})=1$，因此 $a=2e$，选 C。