任取 $x>0$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ 使 $f(x)-f(0)=f^{\prime }(\xi )x\ge kx$。取 $x_0>-\frac{f(0)}{k}$，即有 $f(x_0)>0$。

由于 $f(0)<0$ 且 $f(x_0)>0$，连续性与介值定理保证在 $(0,x_0)$ 中至少有一个零点。

又因 $f^{\prime }(x)\ge k>0$，函数在 $[0,+\infty )$ 上严格递增，故不可能有两个不同零点。因此 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 内有且仅有一个零点。