令 $a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{(-1{)}^n}$。当 $n$ 为偶数时，$a_n=1+\frac{1}{n}\to 1$；当 $n$ 为奇数时，$a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{-1}\to 1$。

偶数子列和奇数子列都趋于 $1$，所以原极限为 $1$。