2002 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

设函数

y (x) = 1 + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{6}}{6 !} + \frac{x ^{9}}{9 !} + \dots + \frac{x ^{3 n}}{( 3 n )!} + \dots (- \infty < x < + \infty)

。

(1) 验证函数 $y (x)$ 满足微分方程 $y^{''} + y^{'} + y = e^{x}$ ；
(2) 利用（1）的结果求幂级数 $n = 0 \sum \infty \frac{x ^{3 n}}{( 3 n )!}$ 的和函数。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

$\frac{e ^{x} + 2 e ^{- \frac{x}{2}} cos \frac{3 x}{2}}{3}$

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第 1 问

原级数的收敛半径为无穷大，可逐项求导，得到 $y^{'} (x) = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{3 n + 2}}{( 3 n + 2 )!}$ ， $y^{''} (x) = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{3 n + 1}}{( 3 n + 1 )!}$ 。

因此

y + y^{'} + y^{''} = n = 0 \sum \infty (\frac{x ^{3 n}}{( 3 n )!} + \frac{x ^{3 n + 1}}{( 3 n + 1 )!} + \frac{x ^{3 n + 2}}{( 3 n + 2 )!}) = m = 0 \sum \infty \frac{x ^{m}}{m !} = e^{x},

验证完毕。

第 2 问

由级数初项得 $y (0) = 1, y^{'} (0) = 0$ 。第一问所得微分方程对应的特征方程为 $r^{2} + r + 1 = 0$ ，齐次解为 $e^{- \frac{x}{2}} (C cos \frac{3 x}{2} + D sin \frac{3 x}{2})$ 。

方程右端为 $e^{x}$ ，取特解 $\frac{1}{3} e^{x}$ 。故

y = \frac{1}{3} e^{x} + e^{- \frac{x}{2}} (C cos \frac{3 x}{2} + D sin \frac{3 x}{2}) .

代入 $y (0) = 1, y^{'} (0) = 0$ ，得 $C = \frac{2}{3}, D = 0$ 。所以幂级数的和函数为 $\frac{e ^{x} + 2 e ^{- \frac{x}{2}} cos \frac{3 x}{2}}{3}$ 。