2014 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

（1）收敛域。系数 $a_{n} = (n + 1) (n + 3) > 0$ ，满足

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 2 ) ( n + 4 )}{( n + 1 ) ( n + 3 )} ⟶ 1.

因此半径为 $1$ 。在 $x = 1$ 时通项趋于 $+ \infty$ ，在 $x = - 1$ 时通项绝对值趋于 $+ \infty$ ，均不趋于零，故两端发散。收敛域为 $(- 1, 1)$ 。
（2）求和。拆系数 $(n + 1) (n + 3) = (n + 1) (n + 2) + (n + 1)$ 。在 $∣ x ∣ < 1$ 内，两部分均绝对收敛，等比级数可逐项求导，得

n = 0 \sum \infty (n + 1) x^{n} n = 0 \sum \infty (n + 1) (n + 2) x^{n} = (\frac{x}{1 - x})^{'} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}}, = (\frac{x ^{2}}{1 - x})^{''} = \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}} .

其中 $\frac{x ^{2}}{( 1 - x )} = - 1 - x + \frac{1}{( 1 - x )}$ ，二阶导直接为 $\frac{2}{( 1 - x ) ^{3}}$ 。合并得

S (x) = \frac{2}{( 1 - x ) ^{3}} + \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} = \frac{3 - x}{( 1 - x ) ^{3}}, - 1 < x < 1.

答案