2016 · 数学二 · 第 9 题 · 填空题

设斜渐近线为 $y = k x + b$ 。函数在整个实轴有定义，分别考察正、负无穷方向。
因 $arctan (1 + x^{2})$ 有界，

k = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to \pm \infty lim [\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} + \frac{arctan ( 1 + x ^{2} )}{x}] = 1.

再求截距。将有理函数部分通分，得 $\frac{x ^{3}}{1 + x ^{2}} - x = - \frac{x}{1 + x ^{2}}$ ，故

b = x \to \pm \infty lim [f (x) - x] = x \to \pm \infty lim [- \frac{x}{1 + x ^{2}} + arctan (1 + x^{2})] = \frac{π}{2} .

这里两个方向都有 $1 + x^{2} \to + \infty$ ，所以反正切项均趋于 $\frac{π}{2}$ 。因此两端共同的斜渐近线为 $y = x + \frac{π}{2}$ 。有界的反正切项在求斜率时贡献为零，但在求截距时不能省略。

答案