（1）代入 $f^{\prime }(t)=\frac{1}{(1+t^2)}$，题设为 $\arctan x=\frac{x}{(1+{\xi }^2)}$。对 $x\ne 0$，$\arctan x\ne 0$，解得 ${\xi }^2=\frac{(x-\arctan x)}{\arctan x}$，故

（2）由 $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，分子为 $\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，分母为 $x^3+o(x^3)$，因此所求极限为 $\frac{1}{3}$，选 D。
（3）等式可以由拉格朗日中值定理产生，但题中仅给该等式，就只需确定 ${\xi }^2$。不能额外断言任意满足等式的 $\xi$ 必与 $x$ 同号，或据此无条件推出 $\frac{\xi }{x}\to \frac{1}{\sqrt{3}}$；平方比的结论不受符号选择影响。

同样先由题设解得 $\frac{{\xi }^2}{x^2}=\frac{(x-\arctan x)}{(x^2\arctan x)}$。这是 $\frac{0}{0}$ 型，分母导数为 $2x\arctan x+\frac{x^2}{(1+x^2)}>0$（$x\ne 0$）。其导数比化简为

导数比极限存在，故由洛必达法则，原极限也是 $\frac{1}{3}$，选 D。分母的乘积求导两项均不能遗漏。