由事件分解 $A=(A\cap B)\cup (A\cap \overline{B})$，且两部分互斥，得

同理 $P(B\cap \overline{A})=P(B)-P(A\cap B)$。两式相减，得

因此左端为零当且仅当右端为零，即选项 C 与 $P(A)=P(B)$ 等价，选 C。
A 等价于 $P(A\cap B)=0$。它不是必要条件：取 $A=B,P(A)=\frac{1}{2}$ 即不成立；也不充分：取互斥事件、概率分别为 $0.3,0.5$，A 成立但概率不等。
B 是独立性。仍取 $A=B,P(A)=\frac{1}{2}$，概率相等却不独立，故非必要；取独立且概率分别为 $0.5,0.3$ 的事件，B 成立但概率不等，故非充分。
对 D，由德摩根律与加法公式，

所以 D 等价于 $P(A)+P(B)=1$。取 $A=B,P(A)=\frac{1}{4}$ 可见它非必要；取概率分别为 $0.3,0.7$ 的事件可见它非充分。