另一特征值为$0$，对应特征向量可取$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 4& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right)$

三阶实对称矩阵可正交对角化。已知特征值 $6$ 的代数重数为 $2$，且 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关；又有 ${\alpha }_3=5{\alpha }_1-3{\alpha }_2$，所以对应特征子空间为 $\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$。

秩为 $2$ 意味着三个特征值中只有两个非零特征值，故另一特征值为 $0$。实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，因此零特征值的特征向量应同时正交于 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$。

解 $v^T{\alpha }_1=0$、$v^T{\alpha }_2=0$，可取 $v=(1,-1,-1{)}^T$；并且 $v^T{\alpha }_3=0$，与给出的第三个特征向量相容。

由第一问，令 $n=(1,-1,-1{)}^T$，则 $n^{T}n=3$，且 $n$ 张成零特征值对应的子空间。于是特征值 $6$ 对应子空间上的正交投影为 $I-\frac{n{n}^T}{3}$。

矩阵 $A$ 在该二维子空间上乘以 $6$，在 $n$ 方向上乘以 $0$，所以