取 $x=0$ 得 $|f(0)|\le 0$，故 $f(0)=0$。又因 $|f(x)|\le x^2$，当 $x\to 0$ 时由夹逼定理知 $f(x)\to 0=f(0)$。

并且 $\left|\frac{f(x)-f(0)}{x}\right|\le |x|\to 0$，故 $f^{\prime }(0)=0$，选 C。